Одним из самых важных навыков при поступлении в 5 класс является умение решать простейшие уравнения. Так как 5 класс ещё не так далек от начальной школы, то и видов уравнений, которые может решать ученик не так уж и много. Мы познакомим Вас со всеми основными видами уравнений, которые необходимо уметь решать, если Вы хотите поступить в физико-математическую школу .

1 тип: "луковичные"
Это уравнения, которые почти со вероятностью встретятся Вам при поступлении в любую школу или кружок 5 класса как отдельное задание. Их легко отличить от других: в них переменная присутствует только 1 раз. Например, или .
Решаются они очень просто: необходимо просто "добраться" до неизвестной, постепенно "снимая" всё лишнее, что окружает её - как будто почистить луковицу - отсюда и такое название. Для решения достаточно помнить несколько правил из второго класса. Перечислим их все:

Сложение

  1. слагаемое1 + слагаемое2 = сумма
  2. слагаемое1 = сумма - слагаемое2
  3. слагаемое2 = сумма - слагаемое1

Вычитание

  1. уменьшаемое - вычитаемое = разность
  2. уменьшаемое = вычитаемое + разность
  3. вычитаемое = уменьшаемое - разность

Умножение

  1. множитель1 * множитель2 = произведение
  2. множитель1 = произведение: множитель2
  3. множитель2 = произведение: множитель1

Деление

  1. делимое: делитель = частное
  2. делимое = делитель * частное
  3. делитель = делимое: частное

Разберём на примере, как применять данные правила.

Заметим, что мы делим на и получаем . В этой ситуации мы знаем делитель и частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное:

Мы стали немного ближе к самому . Теперь мы видим, что к прибавляется и получается . Значит, чтобы найти одно из слагаемых, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

И ещё один "слой" снят с неизвестной! Теперь мы видим ситуацию с известным значением произведения () и одним известным множителем ().

Теперь ситуация "уменьшаемое - вычитаемое = разность"

И последний шаг - известное произведение () и один из множителей ()

2 тип: уравнения со скобками
Уравнения данного типа чаще всего встречаются в задачах - именно к ним сводится 90% всех задач для поступления в 5 класс . В отличие от "луковичных уравнений" переменная здесь может встретиться несколько раз, поэтому решить её методами из предыдущего пункта невозможно. Типичные уравнения: или
Основная трудность - это правильно раскрыть скобки. После того, как удалось это верно сделать, следует привести подобные слагаемые (числа к числам, переменные к переменным), а после этого мы получаем самое простое "луковичное уравнение" , которое умеем решать. Но обо всём по-порядку.

Раскрытие скобок . Мы приведём несколько правил, которыми следует пользоваться в данном случае. Но, как показывает практика, верно раскрывать скобки ученик начинает только после 70-80 прорешанных задач. Основное правило таково: любой множитель, стоящий за скобками необходимо умножить на каждое слагаемое внутри скобок. А минус, стоящий перед скобкой, меняет знак всех выражений, что стоят внутри. Итак, основные правила раскрытия:










Приведение подобных . Здесь всё гораздо легче: Вам необходимо путём переноса слагаемых через знак равенства добиться того, чтобы с одной стороны стояли только слагаемые с неизвестной, а с другой - только числа. Основное правило таково: каждое слагаемое, переносимое через , меняет свой знак - если оно было с ,то станет с , и наоборот. После успешного переноса необходимо сосчитать итоговое количество неизвестных, итоговое число стоящее с другой стороны равенства, нежели переменные, и решить простое "луковичное уравнение" .

Макарова Т.П., ГБОУ СОШ №618 Тренинг «Уравнения» 5 класс

Тренинг для 5 класса по теме «Уравнения» в 2 – х вариантах

Макарова Татьяна Павловна,

Учитель ГБОУ СОШ №618 г. Москвы

Контингент: 5 класс

Тренинг направлен на проверку знаний и умений учеников по теме «Уравнения». Тренинг предназначен для учащихся 5 класса к учебнику Н.Я.Виленкин, В.И.Жохова и др. Учебник для 5 класса. – М.: Мнемозина, 2013. – 288с. Тест содержит два параллельных варианта равной трудности по девять заданий в каждом (4 заданий с выбором ответа, 3 задания с кратким ответом, 2 задания с развернутым решением).

Данный тренинг полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения), может быть использован при проведении классно-урочного контроля, а также может быть использован учащимися 5 класса для самостоятельной работы по теме.

На выполнение теста выделяется от 15 до 25 минут времени урока. Ключи прилагаются.

Тренинг для 5 класса по теме «Уравнения». Вариант 1.

№п/п

Задание

Ответ

Решите уравнение

    574

    1124

    1114

    1024

Найдите корень уравнения

(156-x )+43=170.

1)Корнем уравнения называют значение буквы.

2)Корень уравнения (23 – х ) – 21 = 2 не является натуральным числом.

3)Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

4) Уравнение х – х = 0 имеет ровно один корень.

Петя задумал число. Если к этому числу прибавить 43, а к полученной сумме прибавить 77, то получится 258. Какое число задумал Петя?

1) (х + 43) – 77 = 258

2) (х + 43) + 77 = 258

3) (х – 43) + 77 = 258

4) (х – 43) – 77 = 258

Решите уравнение: (5·с – 8) : 2 = 121: 11.

Решите уравнение: 821 – (m + 268) = 349.

Найдите значение числа а , если 8а + 9х = 60 и х =4.

Решите задачу с помощью уравнения. В библиотеке было 125 книг по математике. После того как учащиеся взяли несколько книг, а потом 3 книги вернули, их стало 116. Сколько всего книг брали учащиеся?

Решите уравнение:

456 + (х – 367) – 225 =898

Тренинг для 5 класса по теме «Уравнения». Вариант 2.

№п/п

Задание

Ответ

Часть 1. Задание с выбором ответа

Решите уравнение

    525

    1081

    535

    1071

Найдите корень уравнения

942 – (y + 142) = 419.

    391

    481

    1219

    381

Укажите номера верных утверждений:

1) Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

2) Любое натуральное число является корнем уравнения

3) Корнем уравнения называют значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое выражение.

4) Чтобы найти неизвестное делимое, надо к частному прибавить делитель.

Даша задумала число. Если к этому числу прибавить 43, а от полученной суммы отнять 77, то получится 258. Какое число задумала Даша?

1) (х + 43) – 77 = 258

2) (х + 43) + 77 = 258

3) (х – 43) + 77 = 258

4) (х – 43) – 77 = 258

Часть 2. Задание с кратким ответом

Решите уравнение: 63: (2·х – 1) = 21: 3.

Решите уравнение: 748 – (b +248) = 300.

Найдите значение числа а , если 7а – 3х = 41 и х =5.

Часть 3. Задания с развернутым решением

Решите задачу с помощью уравнения. На складе было 197 станков. После того, как часть продали, а еще 86 привезли, на складе осталось еще 115 станков. Сколько всего станков продали?

Линейные уравнения. Решение, примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Линейные уравнения.

Линейные уравнения - не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)

Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:

ax + b = 0 где а и b – любые числа.

2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7

0,1х - 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2

Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: "где а и b – любые числа" ... А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:

Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:

Что напрягает и подрывает доверие к математике, да...) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.

Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)

Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:

Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение

нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.

Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)

Решение линейных уравнений. Примеры.

Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.

Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.

х - 3 = 2 - 4х

Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.

Для этого нужно перенести - 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а - 3 - в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря...) Получим:

х + 4х = 2 + 3

Приводим подобные, считаем:

Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно - делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:

Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.

Например, вот это уравнение:

С чего начнём? С иксами - влево, без иксов - вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.

Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?

95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:

Раскрываем скобки:

Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:

Раскрываем оставшиеся скобки:

Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:

Приводим подобные:

И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:

Вот и всё. Ответ: х =0,16

Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)

Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.

Но... Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать...) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.

Особые случаи при решении линейных уравнений.

Сюрприз первый.

Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:

2х+3=5х+5 - 3х - 2

Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса - вправо... Со сменой знака, всё чин-чинарём... Получаем:

2х-5х+3х=5-2-3

Считаем, и... опаньки!!! Получаем:

Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да...) Тупик?

Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.

Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)

Да!!! Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите - можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.

Вот вам и ответ: х - любое число.

Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.

Сюрприз второй.

Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:

2х+1=5х+5 - 3х - 2

После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:

Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред - вполне веское основание для правильного решения уравнения.)

Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)

Вот вам и ответ: решений нет.

Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.

Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)

Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Урок № 33

Тема: Уравнения

Цели урока:

    Обобщить и систематизировать знания учащихся по изучаемой теме, продолжить работу над формированием умения решать уравнения и задачи способом составления уравнений.

    Совершенствовать вычислительные навыки учащихся

    Воспитывать ответственное отношение к учёбе.

Критерии успеха

Я знаю …

Я понимаю …

Я умею ….

Ход урока

Вводно – мотивационный момент

Математика, друзья,
Абсолютно всем нужна.
На уроке работай старательно,
И успех тебя ждёт обязательно!

Сегодня мы продолжаем учиться решать уравнения и задачи способом составления уравнения.

Актуализация знаний

Чтобы выполнить задания, повторим основные понятия, необходимые для решения уравнений и задач, которые решаются способом составления уравнений.

( )

    Какое равенство называется уравнением?

    Какое число называется корнем уравнения?

    Что значит решить уравнение?

    Как проверить верно ли решено уравнение?

Проверка выполнения домашнего задания (Слайд № 2)

(проверка выполнения домашнего задания проводится с помощью самопроверки)

Решение учащимися с проговариванием

(х – 87) – 27 = 36

87 – (41 + у) = 22

х – 87 = 36 + 27

41 + у = 87 - 22

х – 87 = 63

41 + у = 65

х = 63 + 87

у = 65 - 41

х = 150

у = 24

Проверка

Проверка

(150 – 87) - = 36

87 – (41 + 24) = 22

63 – 27 = 36

87 – 65 = 22

36 = 36 (верно)

22 = 22 (верно)

Устная работа

1.Назовите номера уравнений (уравнения записаны на доске), в которых надо найти слагаемое.
В каких уравнениях неизвестно уменьшаемое?
В каких уравнениях надо найти вычитаемое?
В каких уравнениях неизвестно слагаемое?
Найти корни уравнений.

    х + 21 = 40; 2) а – 21 = 40; 3) 50 = а + 31; 4) с – 23 = 61; 5) 42 = 70 – у;

6) 38 - х = 38; 7) 25 – а = 25; 8) х + 32 = 32; 9) у – 0 = 27; 10) 60 – с = 35

    (Слайд № 3)

Работа в группах
Найти неизвестное число:

1) К неизвестному прибавили 71, получили 100.
(х + 71 = 100)
х = 100 – 71
х = 29
2) Произведение двух чисел 72, один множитель равен 12, найти второй множитель.
12*Х = 72
Х = 72: 12
Х = 6
3) При делении некоторого числа на 9 в частном получили 11. Найдите это число.
х: 9 = 31
х = 31* 9
х = 279

Работа над уравнениями (Слайд №5)

Учащимся предлагается составить по условиям три уравнения и решить эти уравнения следующем порядке:
1) Разность суммы чисел «х» и 40 больше числа 31 на 50.
(Уравнение решается с комментированием)
2) Число 70 больше суммы числа 25 и « у » на 38.
(Решение уравнения учащиеся выполняют самостоятельно, а один из учеников записывает решение на обратной стороне доски)
3) Разность числа 120 и числа «а» меньше числа 65 на 53.
(Решение уравнения полностью записывается на доске, после чего весь класс обсуждает решение уравнения)

Работа над задачами (слайд № 6)

Задача № 1
В коробке было несколько яблок. После того как в неё положили ещё 32 яблока, их стало 81. Сколько яблок в коробке было первоначально?

О чём говорится в задаче? Какие действия выполнили с яблоками? Что нужно узнать в задаче? Что следует обозначить буквой?
Пусть в корзине было х яблок. После того, как в неё положили ещё 32 яблока их стало (х + 32) яблока, а по условию задачи яблок в корзине стало 81.
Значит, можем составить уравнение:
х + 32 = 81,
х = 81 – 32,
х = 49

Первоначально в корзине было 49 яблок.
Ответ: 49 яблок.

Задача № 2
В ателье было 70 (м) ткани. Из части ткани сшили платья и ещё 18 (м) израсходовали на брюки, после чего осталось 23 (м). Сколько метров ткани пошло на платья?

О чём говорится в задаче? Какие действия выполнили с тканью? Что нужно узнать в задаче? Что следует обозначить буквой?
Пусть на платья израсходовано х (м) ткани. Тогда на пошив платьев и брюк израсходовано (х + 18) метров ткани. По условию задачи известно, что осталось 23 м.
Значит можем составить уравнение:
70 – (х + 18) = 23,
х + 18 = 70 – 23,
х + 18 = 47,
х = 47 – 18,
х = 29.

На платья пошло 29 метров ткани.
Ответ: 29 метров.

Самостоятельная работа (Слайд № 7)

Самостоятельная работа учащимся предлагается в двух вариантах.

1 вариант

2 вариант

Решите уравнения:

Решите уравнения:

1) 320 – х = 176

1) 450 – у = 246

2) у + 294 = 501

2) х + 386 = 602